Hai đường thẳng song song, Toán 7 (Cánh Diều), lớp 7. Hai đường thẳng song song, Toán 7 (Cánh Diều), lớp 7. Hãy mua VIP để có thể học không giới hạn! Nộp bài! Hướng dẫn giải Tiếp tục làm bài. 00:00. Luyện tập lại Hỏi đáp; Bình luận; Cho hai đường thẳng song song và . Trên đường thẳng lấy điểm phân biệt; trên đường thẳng lấy điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên điểm trong các điểm đã cho trên hai đường thẳng và . Tính xác xuất để điểm được chọn tạo thành một tam giác. Trang chủ Đề kiểm tra Câu hỏi Toán học Cho hai đường thẳng song song và . Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên song song - Cho hai đường thẳng y = mx - 2 và y = (2 - m)x + 4,Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên song song,Toán học Lớp 9,bài tập Toán học Lớp 9,giải bài tập Toán học Lớp 9,Toán học,Lớp 9 Đề bài Tìm trong thực tế các hình ảnh gợi về: a) Hai đuờng thẳng song song; b) Hai đường thẳng cắt nhau. Phương pháp giải - Xem chi tiết + 2 đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung + 2 đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng chỉ có … Biết sử dụng ê ke và thước thẳng hoặc chỉ dùng êke để vẽ 2 đường thẳng song song. - TĐ: Cẩn thận, tỉ mỉ, vẽ hình đẹp, chính xác. - TT: Nắm được DHNB hai đường thẳng song song, cách vẽ. II. Chuẩn bị: 1. Giáo viên: Thước thẳng, bảng phụ, êke, thước đo góc. 2. Để chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian (lớp 11) chúng ta có thể áp dụng trong các cách dưới đây: - Cách 1: Chứng minh chúng đồng phẳng rồi sử dụng các định lí đường trung bình, Thales đảo … quen thuộc trong hình học phẳng. - Cách 2: Chứng minh chúng cùng El2gATa. Chứng minh hai đường thẳng song song là dạng toán cơ bản nhưng luôn xuất hiện trong các bài toán hình học. Đây là một kiến thức quan trọng trong hinh học Toán lớp 7. Vậy cách chứng minh hai đường thẳng song song như thế nào? Thông báo Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé! Cách chứng minh hai đường thẳng song song. Để chứng minh hai đường thẳng song song, các bạn sẽ có 6 phương pháp sau PP chỉ ra hai góc so le bằng nhauĐường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tạo thành hai góc so le A1 và B1 bằng nhau =>hai đường thẳng a và b song song với nhau. PP chỉ ra hai góc đồng vị bằng nhauĐường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tạo thành hai góc đồng vị A3 và B1 bằng nhau => hai đường thẳng a và b song song với nhau. PP chỉ ra hai góc trong cùng phía bù nhauĐường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tạo thành hai góc A và B có tổng bằng 180o => hai đường thẳng a và b song song với nhau. PP chỉ ra hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ baĐường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b, khi đó c cùng vuông góc với a và b => hai đường thẳng a và b song song với nhau. PP sử dụng tiên đề ƠclitChứng minh hai đoạn thẳng nằm trên đường thẳng a cùng song song với b => hai đường thẳng a và b song song với nhau. Tầm quan trọng của đường thẳng song song. Trong hình học, hai đường thẳng song song sẽ là yếu tố giúp các bạn giải quyết bài toán. Hãy vận dụng giải nhiều bài tập sễ nắm vững các phương pháp chứng minh. Hãy tham khảo bài tập vận dụng bên dưới. Sưu tầm Thu Hoài Bài viết này cung cấp thông tin về tính chất hai đường thẳng song song. Hai đường thẳng song song là bài học cốt lõi của chương trình toán hình học lớp 7, và toán hình nói chung. Vì vậy nếu các em không hiểu được tính chất của hai đường thẳng song song thì rất khó làm những bài tập chứng minh trong toán hình. Sau đây là tổng hợp kiến thức về hai đường thẳng song song và bài soạn chi đang xem Chứng minh song song6 phương pháp chứng minh hai đường thẳng song songHai đường thẳng song songĐịnh nghĩa– Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.– Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song.– Kí hiệu a // bTiền đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song– Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đi qua M và b // aTính chất hai đường thẳng song song– Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.– Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.– Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.– Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với hiệu nhận biết hai đường thẳng song song– Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau. – Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau. – Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc trong cùng phía bù nhau. Chứng minh hai đường thẳng song songPhương pháp 1. Chỉ ra hai góc so le bằng nhauPhương pháp 2. Chỉ ra hai góc đồng vị bằng nhauPhương pháp 3. Chỉ ra hai góc trong cùng phía bù nhauPhương pháp 4. Chỉ ra hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. Phương pháp 5. Chỉ ra hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba. Phương pháp 6. Sử dụng tiên đề Ơ clitTrên thực tế với kiến thức học cao hơn sẽ có nhiều cách để chứng minh hai đường thẳng song song. Song, chúng tôi vận dụng với kiến thức toán học lớp 7 để nêu ra 6 phương pháp trên. Để mở rộng thêm kiến cho các em hơn, chúng tôi tách riêng 9 phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song nâng cao sau đây. Xét vị trí các cặp góc tạo bởi hai đường thẳng định chứng minh song song với một đường thẳng thứ ba so le, đồng vị.. Sử dụng tính chất của hình bình hành. Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành . Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song. Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng. Sử dụng tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên hay đi qua trung điểm của hai đường chéo của hình thang. Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn. Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản bài Hai đường thẳng song song lớp 7Trả lời câu 1 bài 4 trang 90 sgk toán 7 tập 1Xem hình 17 a, b, c. Đoán xem các đường thẳng nào song song với – Các đường thẳng song song với nhau làa song song với bm song song với lời câu 2 bài 4 trang 90 sgk toán 7 tập 1Cho đường thẳng a và điểm A nằm ngoài đường thẳng a. Hãy vẽ đường thẳng b đi qua A và song song với Học sinh nhìn theo hướng dẫn và tự 24 trang 91 sgk toán 7 tập 1Điền vào chỗ trống … trong các phát biểu saua Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là …b Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì …GiảiĐiền vào chỗ trống như sau đáp án được bôi đậm. a Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là a // Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì a song song với 25 trang 91 sgk toán 7 tập 1Cho hai điểm A và B. Hãy vẽ một đường thẳng a đi qua A và đường thẳng b đi qua B sao cho b song song với tự vẽ các bước như sau – Vẽ đường thẳng a đi qua A bất kì.– Dùng eke vẽ đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a tại A.– Vẽ đường thẳng b đi qua B và vuông góc với c.– Khi đó ta được đường thẳng b đi qua B và song song với đường thẳng 26 trang 91 sgk toán 7 tập 1Vẽ cặp góc so le trong xAB, yBA có số đo đều bằng 120o. Hỏi hai đường thẳng Ax ,By có song song với nhau không ? Vì sao ?GiảiTa có AB cắt hai đường thẳng Ax và ByCó một cặp góc so le trong bằng nhau góc xAB = góc yBA = 120ºVậy Ax // By theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.Kiến thức áp dụng Dựa vào tính chất hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì a và b song song với 27 trang 91 sgk toán 7 tập 1Cho tam giác ABC. Hãy vẽ một đoạn thẳng AD sao cho AD = BC và đường thẳng AD song song với đường thẳng bước vẽ như sau – Vẽ đường thẳng d qua A và vuông góc với BC.– Vẽ đường thẳng Ax vuông góc với đường thẳng d tại A. Khi đó ta có được đường thẳng Ax song song với BC hai cặp góc so le trong tạo thành đều là góc vuông.– Trên đường thẳng Ax đặt đoạn thẳng AD có độ dài bằng độ dài đoạn thẳng BC. Ta được đoạn AD cần vẽ có 2 điểm D thỏa mãn.Bài 28 trang 91 sgk toán 7 tập 1Vẽ hai đường thẳng xx’, yy’ sao cho xx’ // yy’.GiảiCác bước vẽ như sau – Vẽ một đường thẳng xx’ bất kì.– Lấy điểm M tùy ý nằm ngoài đường thẳng xx’.– Vẽ qua M đường thẳng yy’ sao cho yy’ //xx’. Bài 29 trang 91 sgk toán 7 tập 1Cho góc nhọn xOy và một điểm O’. Hãy vẽ một góc nhọn x’Oy’ có O’x’ // Ox, O’y’ // Oy. Hãy đo xem hai góc xOy và x’O’y’ có bằng nhau hay không ?Giải – Từ O’ vẽ O’x’ // Ox– Từ O’ vẽ O’y’//Oy sao cho góc Giải bài 29 trang 92 Toán 7 Tập 1 Giải bài tập Toán 7 là góc được trường hợp hình vẽ dưới đây. Sau đó đo hai góc xOy và x’O’y’ ta thấy xOy = x’O’y’.Bài 30 trang 92 sgk toán 7 tập 1Đố. Nhìn xem hai đường thẳng m, n ở hình 20a hai đường thẳng p, q ở hình 20b có song song với nhau không ? Kiểm tra lại bằng dụng Theo hình vẽ thì m // n, p // q. – Cách kiểm tra Vẽ một đường thẳng tùy ý cắt p, q. Đo hai góc đồng vị hoặc góc so le trong tạo thành xem có bằng nhau không. Nếu hai góc bằng nhau thì hai đường thẳng p và q song song, còn nếu hai góc không bằng nhau thì hai đường thẳng p và q không song tập về hai đường thẳng song song nâng caoBài 1 Cho hình vẽ, trong đó góc AOB = 60o, Ot là tia phân giác của góc AOB. Hỏi các tia Ax, Ot và By có song song với nhau không? Vì sao?GiảiBài 2 Cho góc xOy = 30o và điểm A nằm trên cạnh Ox. Dựng tia Ax song song với Oy và nằm trong góc Tìm số đo góc xOyGiảiBài 3 Cho góc xOy = α, điểm A nằm trên tia Oy. Qua A vẽ tia Am. Tính số đo góc OAm để Am song song với hai trường hợpa Nếu tia Am thuộc miền trong góc xOyb Nếu tia Am thuộc miền ngoài góc xOyBài 4 Cho đường thẳng a và b cắt đường thẳng c tại A và B. Cho biết tổng của hai góc trong cùng phía với một góc so le trong với một trong hai góc này bằng 300° và trong hai góc kề bù có góc này bằng gấp đôi góc kia. Hai đường thẳng a và đường thẳng b có song song với nhau không? Vì sao?GiảiQua bài viết về Hai đường thẳng song song này, chúng tôi cũng một lần nữa chia sẻ rằng luôn mong muốn gửi gắm những kiến thức bổ ích nhất cho các em, giúp các em chuẩn bị hành trang vững chắc để chinh phục những đỉnh cao toán học và con đường tri thức phía trước. Mong rằng các em sẽ luôn ủng hộ để chúng tôi có thêm động lực để xây dựng trang web ngày càng phát triển. 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng tong không gian. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b. Khi đó có các khả năng sau a. Có một mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và b. Lúc này ta bảo rằng a và b đồng phẳng. Khi đó, ta có các khả năng sau i a và b có một điểm chung duy nhất M. Lúc này ta nói rằng a và b cắt nhau tại M và viết hay ii a và b không có điểm chung. Lúc này ta nói rằng a và b song song với nhau và viết iii a và b trùng nhau. Ta viết b. Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Lúc này, ta nói hai đường thẳng chéo nhau. Định nghĩa. Hai đường thẳng gọi là song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng 2. Các tính chất Định lí 1. Qua một điểm A cho trước không nằm trên đường thẳng a cho trước có duy nhất một đường thẳng b đi qua A và song song với đường thẳng a. Định lí 2. Định lý giao tuyến về ba mặt phẳng Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với hai đường thẳng đó. Định lí 3. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Bài viết trình bày định nghĩa, phương pháp chứng hai đường thẳng song song trong không gian và một số ví dụ minh họa điển hình, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Hình học 11 chương 2 đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song nghĩa Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm pháp chứng minh hai đường thẳng song song Để chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian, ta sử dụng một trong các cách sau đây + Cách 1. Chứng minh chúng đồng phẳng rồi sử dụng các định lí đường trung bình, Thales đảo … quen thuộc trong hình học phẳng. + Cách 2. Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba. + Cách 3. Dùng hệ quả Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng dụ minh họa Ví dụ 1 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. a Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $SAB$ và $SCD.$ b Đường thẳng qua $D$ và song song $SC$ cắt mặt phẳng $SAB$ tại $I.$ Chứng minh $AI$ song song $SB.$a Mặt phẳng $SAB$ chứa $AB$, mặt phẳng $SCD$ chứa $CD$ mà $AB // CD$ nên $St = mp SCD ∩ mp SAB$ với $St // AB // CD.$ b Trong mặt phẳng $SCD$, đường thẳng qua $D$ và song song $SC$ cắt $St$ tại $I.$ Do $St ⊂ mp SAB$ $⇒I ∈ mp SAB.$ Ta có $SI // CD$ và $SC // DI$ nên $SIDC$ là hình bình hành. Do đó $SI // = CD.$ Mà $CD // = AB$ nên $SI // = AB.$ Tứ giác $SIAB$ là hình bình hành nên $AI // SB.$Ví dụ 2 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ song song $CD$ và $AB > CD.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB.$ a Chứng minh $MN$ song song $CD.$ b Tìm giao điểm $J$ của $SC$ và mặt phẳng $ADN.$ c $AN$ và $DJ$ cắt nhau tại $I$. Chứng minh $SI // AB$ và $SA // IB.$a Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $MN // AB$, mà $AB // CD$ nên $MN // CD.$ b Trong mặt phẳng $ABCD$, $AD$ cắt $BC$ tại $E.$ Trong mặt phẳng $SBC$, $NE$ cắt $SC$ tại $J.$ $J ∈ NE$ $⇒ J ∈ mp ADN.$ Vậy $J$ là giao điểm $SC$ và $ADN.$ c Ta có $AB ⊂ mp SAB.$ $CD ⊂ mp SCD.$ $AB // CD.$ $SI$ là giao tuyến của mặt phẳng $SAB$ và mặt phẳng $SCD.$ Vậy $SI // AB // CD.$ Ta có $SI // MN$ vì cùng song song với $AB$, mà $M$ là trung điểm $SA$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ASI.$ Do đó $\overrightarrow {SI} = 2\overrightarrow {MN} $ mà $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {MN} $ nên $\overrightarrow {SI} = \overrightarrow {AB} .$ Vậy $ABIS$ là hình bình hành, suy ra $SA // IB.$Ví dụ 3 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ lần lượt là trọng tâm các $ΔBCD$, $ΔACD$, $ΔABD$, $ΔABC.$ Gọi $G$ là giao điểm $AA_1$ và $BB_1.$ Chứng minh a $\frac{{AG}}{{A{A_1}}} = \frac{3}{4}.$ b $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ đồng Gọi $I$ là trung điểm $CD.$ Trên mặt phẳng $IAB$, ta có $\frac{{I{B_1}}}{{IA}} = \frac{{I{A_1}}}{{IB}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow {A_1}{B_1}//AB$ và $\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{1}{3}.$ $ \Rightarrow \frac{{GA}}{{G{A_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = 3$ $ \Rightarrow \frac{{GA}}{{G{A_1} + GA}} = \frac{3}{{3 + 1}} = \frac{{AG}}{{A{A_1}}}$ $1.$ b Tương tự, gọi ${G’} = A{A_1} \cap D{D_1}$, ta có $\frac{{G’A}}{{A{A_1}}} = \frac{3}{4}$ $2.$ Tương tự, gọi $G” = A{A_1} \cap C{C_1}$, ta có $\frac{{G”A}}{{A{A_1}}} = \frac{3}{4}$ $3.$ Từ $1$, $2$ và $3$, suy ra $\frac{{G’A}}{{A{A_1}}} = \frac{{G”A}}{{A{A_1}}} = \frac{{GA}}{{A{A_1}}}$ $ \Rightarrow G \equiv G’ \equiv G”.$Ví dụ 4 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt trên $BC$, $SC$, $SD$, $AD$ sao cho $MN // SB$, $NP // CD$, $MQ // AB.$ a Chứng minh $PQ // SA.$ b Gọi $K$ là giao điểm $MN$ và $PQ.$ Chứng minh $SK // AD // BC.$a Do $MQ//AB \Rightarrow \frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{{CM}}{{CB}}$ $1.$ Do $MN//SB \Rightarrow \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CN}}{{CS}}$ $2.$ Do $NP//CD \Rightarrow \frac{{CN}}{{CS}} = \frac{{DP}}{{DS}}$ $3.$ Từ $1$, $2$ và $3$, suy ra $\frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{{DP}}{{DS}}$ $ \Rightarrow PQ///SA.$ b Mặt phẳng $SAD$ và $SBC$ đã có chung điểm $S.$ $K \in NM \Rightarrow K \in SBC.$ $K \in PQ \Rightarrow K \in SAD.$ Vậy $SK = SAD \cap SBC.$ Ta có $AD \subset SAD$, $BC \subset SBC$, mà $AD//BC.$ Vậy $SK = SAD \cap SBC$ thì $SK//AD//BC.$Ví dụ 5 Cho hình chóp $ có $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $OB.$ Gọi $I$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $AMN.$ Tính tỉ số $\frac{{SI}}{{ID}}.$Trong mặt phẳng $ABCD$, gọi $E$ và $F$ là giao điểm của $AN$ với $CD$ và $BC.$ Trong mặt phẳng $SCD$, gọi $I$ là giao điểm của $EM$ và $SD.$ $I ∈ ME$ $⇒ I ∈ mp AMN.$ Vậy $I$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $AMN.$ Ta có $BF//AD$ $ \Rightarrow \frac{{BF}}{{AD}} = \frac{{NB}}{{ND}}$ $ = \frac{{\frac{1}{2}OB}}{{OD + \frac{1}{2}OB}} = \frac{{\frac{1}{2}OB}}{{\frac{3}{2}OB}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow BF = \frac{1}{3}AD$ $ \Rightarrow CF = \frac{2}{3}AD.$ Ta có $CF//AD$ $ \Rightarrow \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{{CF}}{{AD}} = \frac{2}{3}.$ Trong mặt phẳng $SCD$ vẽ $CJ//SD$ $J \in EI$. Ta có $\frac{{JC}}{{ID}} = \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{2}{3}$ $1.$ $JC//SI$ $ \Rightarrow \frac{{CJ}}{{SI}} = \frac{{MC}}{{MS}} = 1$ $ \Rightarrow CJ = SI$ $2.$ Từ $1$ và $2$ suy ra $\frac{{SI}}{{ID}} = \frac{2}{3}.$Ví dụ 6 Cho hình lập phương $ cạnh $a.$ Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $A’B’$, $C’B’$, $CC’$, $AA’.$ a Chứng minh tứ giác $MNPQ$ là hình thang cân. b Tính chu vi và diện tích tứ giác $MNPQ$ theo $a.$a Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $A’B’C’$ nên $MN//A’C’$ $1.$ Ta có $\overrightarrow {A’Q} = \frac{1}{2}\overrightarrow {A’A} $ và $\overrightarrow {C’P} = \frac{1}{2}\overrightarrow {C’C} .$ Mà $\overrightarrow {A’A} = \overrightarrow {C’C} $ nên $\overrightarrow {A’Q} = \overrightarrow {C’P} .$ Do đó $A’QPC’$ là hình bình hành nên $PQ // A’C’$ $2.$ Từ $1$ và $2$ suy ra $PQ//MN.$ Ta có $\Delta A’MQ = \Delta C’PN$ $ \Rightarrow MQ = NP.$ Vẽ $MH$ và $NK$ vuông góc với $PQ.$ Ta có $\Delta MHQ = \Delta NKP$ nên $\widehat {MQH} = \widehat {NPK}.$ Do đó $MNPQ$ là hình thang Ta có $MN = \frac{{A’C’}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$ $PQ = A’C’ = a\sqrt 2 .$ $NP = MQ = \frac{a}{2}\sqrt 2 .$ Do đó chu vi tứ giác $MNPQ$ là $\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + a\sqrt 2 + 2\left {\frac{a}{2}\sqrt 2 } \right = \frac{{5a\sqrt 2 }}{2}.$ Do $\Delta MQH = \Delta NKP$ nên $HQ = KP.$ Vậy $KP = QH = \frac{1}{2}PQ – HK$ $ = \frac{1}{2}PQ – MN$ $ = \frac{1}{2}\left {a\sqrt 2 – \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.$ Do tam giác $NPK$ vuông $ \Rightarrow N{K^2} = N{P^2} – K{P^2}$ $ = \frac{{{a^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{8} = \frac{{6{a^2}}}{{16}}.$ Vậy diện tích tứ giác $MNPQ$ là $\frac{1}{2}NKMN + PQ$ $ = \frac{{a\sqrt 6 }}{8}\left {\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + a\sqrt 2 } \right = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}.$Ví dụ 7 Cho tam giác $ABC$ nằm trong mặt phẳng $α.$ Gọi $Bx$, $Cy$ là hai nửa đường thẳng song song nằm về cùng phía đối với mặt phẳng $α.$ Gọi $M$ và $N$ là hai điểm di động trên $Bx$, $Cy$ sao cho $CN = 2BM.$ a Chứng minh $MN$ luôn qua một điểm cố định $I$ khi $M$, $N$ di động. b Lấy $E$ thuộc đoạn $AM$ với $EM = \frac{1}{3}AE$, $IE$ cắt $AN$ tại $F$, $BE$ cắt $CF$ tại $Q.$ Chứng minh $AQ$ song song $Bx$ và $Cy$, và mặt phẳng $QMN$ chứa một đường thẳng cố định khi $M$, $N$ di Trong mặt phẳng $Bx, Cy$, gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $BC.$ Do $MB // NC$ nên $\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{MB}}{{NC}} = \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow IB = 2IC$, suy ra $B$ là trung điểm $IC.$ Vậy $MN$ di động luôn qua $I$ cố định. b Ta có $Q \in BE \Rightarrow Q \in mpABM.$ $Q \in CF \Rightarrow Q \in mpANC.$ Vậy $AQ = mp ABM ∩ mp ANC.$ Mà hai mặt phẳng $ABM$ và mặt phẳng $ANC$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song $BM$ và $NC.$ Do đó $AQ // BM // NC.$ Ta có $MB // AQ$ $ \Rightarrow \frac{{MB}}{{AQ}} = \frac{{EM}}{{EA}} = \frac{1}{3}.$ Gọi $K$ là giao điểm của $MQ$ và $BA$ ta có $\frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{MB}}{{AQ}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow KB = \frac{1}{3}KA.$ Vậy $K$ cố định. Ta có $K ∈ MQ ⇒ K ∈ mp MNQ.$ $I ∈ MN ⇒ I∈ mp MNQ.$ Do đó mặt phẳng $QMN$ di động nhưng luôn chứa đường thẳng cố định $IK.$ [ads] Ví dụ 8 Cho tam giác $ABC.$ Từ $A$, $B$, $C$ vẽ các nửa đường thẳng song song cùng chiều $Ax$, $By$, $Cz$ không nằm trong mặt phẳng $ABC.$ Trên $Ax$, $By$, $Cz$ lần lượt lấy đoạn $AA’ = a$, $BB’ = b$, $CC’ = c.$ Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là giao điểm $B’C’$, $A’C’$, $A’B’$ với mặt phẳng $ABC.$ Gọi $G$, $G’$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và tam giác $A’B’C’.$ a Chứng minh $\frac{{IB}}{{IC}} \cdot \frac{{JC}}{{JA}} \cdot \frac{{KA}}{{KB}} = 1.$ b Chứng minh $GG’ // AA’.$ Tính $GG’$ theo $a$, $b$, $c.$Ta có $CC’//BB’ \Rightarrow \frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{BB’}}{{CC’}} = \frac{b}{c}.$ $CC’//AA’ \Rightarrow \frac{{JC}}{{JA}} = \frac{{CC’}}{{AA’}} = \frac{c}{a}.$ $AA’//BB’ \Rightarrow \frac{{KA}}{{KB}} = \frac{{AA’}}{{BB’}} = \frac{a}{b}.$ Do đó $\frac{{IB}}{{IC}} \cdot \frac{{JC}}{{JA}} \cdot \frac{{KA}}{{KB}} = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1.$ b Gọi $H$, $H’$ là trung điểm $CB$ và $C’B’.$ $HH’$ là đường trung bình của hình thang $CC’B’B$ nên $HH’//BB’//AA’//CC’$ $1.$ $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $ \Rightarrow \frac{{AG}}{{AH}} = \frac{2}{3}.$ $G’$ là trọng tâm tam giác $A’B’C’$ $ \Rightarrow \frac{{A’G’}}{{A’H’}} = \frac{2}{3}.$ Vậy $\frac{{AG}}{{AH}} = \frac{{A’G’}}{{A’H’}} \Rightarrow GG’//HH’$ $2.$ Từ $1$ và $2$ suy ra $GG’//AA’.$ Gọi $M$ là giao điểm $AH’$ và $GG’.$ Ta có $G’M//AA’ \Rightarrow \frac{{G’M}}{{AA’}} = \frac{{H’G’}}{{H’A’}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow G’M’ = \frac{a}{3}.$ Ta có $MG//HH’ \Rightarrow \frac{{MG}}{{HH’}} = \frac{{AG}}{{AH}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow MG = \frac{2}{3}HH’$ $ = \frac{2}{3}\frac{{BB’ + CC’}}{2} = \frac{{b + c}}{3}.$ Do đó $GG’ = MG’ + MG = \frac{{a + b + c}}{3}.$Ví dụ 9 Cho hình chóp $ có đáy là hình thang $ABCD$ với đáy $AD$ và $BC$ có $AD = a$, $BC = b$ với $a > b.$ Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trọng tâm $ΔSAD$, $ΔSBC$, $SB$ và $SC$ cắt mặt phẳng $ADJ$ tại $M$, $N$, $SA$, $SD$ cắt mặt phẳng $BCI$ tại $P$, $Q.$ a Chứng minh $MN$ song song $PQ.$ b Giả sử $AM$ cắt $BP$ tại $E$, $CQ$ cắt $DN$ tại $F.$ Chứng minh $EF$ song song $MN$ và $PQ.$ Tính $EF$ theo $a$ và $b.$a Ta có $I \in IBC \cap SAD.$ Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {AD//BC}\\ {AD \subset SAD}\\ {BC \subset IBC} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow SAD \cap IBC = PQ.$ Với $I∈PQ$ và $PQ//AD//BC.$ Tương tự $J \in JAD \cap SBC.$ $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {AD//BC}\\ {AD \subset JAD}\\ {BC \subset SBC} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow JAD \cap SBC = MN.$ Với $J \in MN$ và $MN//AD//BC.$ Do đó $MN//PQ.$ b Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop E\limits^. \in AM \Rightarrow E \in AMND}\\ {E \in PQ \Rightarrow E \in BPCQ} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow E \in AMND \cap BPCQ.$ Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {F \in DN \Rightarrow F \in AMND}\\ {F \in CQ \Rightarrow E \in BPCQ} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow F \in AMND \cap BPCQ.$ Vậy $EF = AMND \cap BPCQ.$ Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {MN \subset AMND}\\ {PQ \subset BPCQ}\\ {MN//PQ} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow EF//PQ//MN.$ Gọi $K$ là giao điểm $EF$ và $PC.$ Ta có $EK//BC$ $ \Rightarrow \frac{{KE}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}}.$ Do $I$ là trọng tâm tam giác $SAD$ và $PI//AD$ $ \Rightarrow \frac{{SP}}{{AS}} = \frac{2}{3}.$ Do $J$ là trọng tâm tam giác $SBC$ và $MJ//BC$ $ \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{2}{3}.$ Do đó $\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow PM//AB$ $ \Rightarrow \frac{{PE}}{{EB}} = \frac{{PM}}{{AB}}.$ Mà $\frac{{PM}}{{AB}} = \frac{{SP}}{{SA}} = \frac{2}{3}.$ Do đó $\frac{{PE}}{{EB}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow \frac{{EK}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}} = \frac{{PE}}{{PE + EB}}$ $ = \frac{1}{{1 + \frac{{EB}}{{PE}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{3}{2}}} = \frac{2}{5}$ $ \Rightarrow EK = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5}b.$ Tương tự $KF = \frac{2}{5}a.$ Vậy $EF = EK + KF = \frac{2}{5}a + b.$Bài tập tự luyện Bài tập 1 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$, $BC$, $AD$, $AC$, $BD.$ a Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành. b Chứng minh $MN$, $PQ$, $RS$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi tập 2 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình thang có cạnh bên $AD$, $BC.$ a Xác định giao tuyến $d$ của $SAB$ và $SCD.$ b Gọi $M$, $N$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAD$ và $SBC.$ Chứng minh $d // MN.$Bài tập 3 Cho hai hình bình hành $ABCD$, $ABEF$ không cùng nằm trên một mặt phẳng. a Chứng minh $CE // DF.$ b Gọi $M$, $N$ là hai điểm trên $AC$, $AD$ sao cho $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AD}} = m.$ Gọi $H$, $K$ là hai điểm trên $BF$ và $AF$ sao cho $\frac{{FK}}{{FA}} = \frac{{FL}}{{FB}} = n$ với $m,n \in 0;1$. Chứng minh $MN // KL.$ c Cho $m = \frac{2}{5}$ và $n = \frac{3}{5}$. Chứng minh $NK // DF.$Bài tập 4 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AC$, $BC.$ Gọi $R$ là điểm trên $BD$ sao cho $BR = 2RD.$ a Xác định $E$, $F$ là giao điểm của $RPQ$ với $CD$, $AD.$ b Tìm giao tuyến của $PQR$ và $ABE.$ c Chứng minh $R$, $F$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCE$ và $ACE.$ d Chứng minh $FR // PQ.$ e Tính tỉ số diện tích mà mặt phẳng $PQR$ chia cắt tam giác $ACD.$Bài tập 5 Cho hình chóp $ có $ABCD$ là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$, $OB.$ a Tìm giao điểm $I$ của $SD$ và $AMN.$ b Tính $\frac{{SI}}{{ID}}.$Bài tập 6 Cho hình chóp $ có đáy là tứ giác lồi, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$ Gọi $M$, $N$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$, $SC$, $SD.$ Chứng minh a $ME // AC$ và $NF // BD.$ b Ba đường thẳng $EM$, $NF$, $SO$ đồng quy. c Bốn điểm $M$, $N$, $E$, $F$ đồng tập 7 Cho hình chóp $ có đáy là hình chữ nhật. Gọi $M$, $N$, $E$, $F$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$, $SBC$, $SCD$ và $SDA.$ a Chứng minh tứ giác $MNEF$ là hình thoi. b Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$ Chứng minh $ME$, $NF$ và $SO$ đồng tập 8 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD.$ Lấy $E$ trên $AD$ $E ≠ A, D.$ a Xác định mặt cắt của tứ diện và $IJE.$ b Tìm vị trí của điểm $E$ trên $AD$ sao cho thiết diện là hình bình hành. c Tìm điều kiện của $ và vị trí $E$ trên $AD$ sao cho thiết diện là hình thoi.

để hai đường thẳng song song